ระบบจำนวนจริง

1.  จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้

ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ  ซึ่งมีค่า 3.14159265... 

2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ระบบจำนวนตรรกยะ      จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ

1.       จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม

2.       จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้

 I เป็นเซตของจำนวนเต็ม

ระบบจำนวนเต็ม

     จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I ^- โดยที่          
       I ^- = {..., -4, -3, -2, -1}
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I⁺ โดยที่ 
      I⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}
เมื่อ I⁺ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ 
        N = I⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}

ระบบจำนวนเชิงซ้อน      นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการ ต่อไปนี้               x2 = -1   ∴ x = √-1 = i            x2 = -2  ∴ x = √-2 = √2 i            x2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i      จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i       ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers) สมบัติของระบบจำนวนจริง

สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ 
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
 2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
 4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0    
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
 5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a   
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

   ที่มา http://blog.eduzones.com/araya/33010